حاصل $A=\frac{{{a}^{۹}}-۱}{۱+a+...+{{a}^{۸}}}$ به ازای $a=\sqrt{۲}+۱$ کدام است؟
مجموع n جملۀ اول یک دنبالۀ هندسی با جملۀ اول a و قدر نسبت q برابر S_n=a\frac{(1-q)^n}{1-q} میباشد. عبارت مخرج را یک دنبالۀ هندسی با جملۀ اول 1 و قدر نسبت q در نظر میگیریم. مطابق نکته داریم: $1+a+{{a}^{2}}+...+{{a}^{8}}=\frac{{{a}^{9}}-1}{a-1}$ بنابراین: $A=\frac{{{a}^{9}}-1}{\frac{{{a}^{9}}-1}{a-1}}=a-1\xrightarrow{a=\sqrt{2}+1}A=\sqrt{2}+1-1=\sqrt{2}$