خطا
نکته (قضیهٔ نیمساز): در هر مثلث، نیمساز هر زاویهٔ داخلی، ضلع روبهرو به آن زاویه را بهنسبت اندازههای اضلاع آن زاویه تقسیم میکند. ${{\hat{A}}_{1}}={{\hat{A}}_{2}}\Rightarrow \frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}$ نکته: در مثلث دلخواه $ABC$ اگر $AD$ نیمساز زاویهٔ داخلی $A$ باشد، داریم: $A{{D}^{2}}=AB\cdot AC-BD\cdot DC$ ابتدا به کمک قضیهٔ نیمساز طول پارهخطهای $BD$ و $CD$ را حساب میکنیم: $\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}\Rightarrow \frac{3}{5}=\frac{BD}{7-BD}\Rightarrow 5BD=21-3BD\Rightarrow BD=\frac{21}{8}\Rightarrow CD=\frac{35}{8}$ اکنون طول نیمساز $AD$ را محاسبه میکنیم: $A{{D}^{2}}=3\times 5=\frac{35}{8}\times \frac{21}{8}\Rightarrow A{{D}^{2}}=15-15\times \frac{49}{64}\Rightarrow A{{D}^{2}}=15(1-\frac{49}{64})$ $\Rightarrow A{{D}^{2}}=15\times \frac{15}{64}\Rightarrow A{{D}^{2}}={{(\frac{15}{8})}^{2}}\Rightarrow AD=\frac{15}{8}$