اگر $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{a{{x}^{b+۷}}+ab{{x}^{b}}+ax}{(۲a+۱){{x}^{۲b}}-a{{x}^{b}}+x}$ برابر $۲$ باشد، آنگاه $a+b$ کدام است؟ $(b \gt ۱)$
در حدهای کسری شامل چندجملهایها که $x\to \pm \infty $، کافیست عامل پرتوان موجود در صورت و مخرج را در نظر بگیریم و از بقیه جملات صرفنظر کنیم. در صورت کسر عبارت $a{{x}^{b+7}}$ و در مخرج کسر هم عبارت $(2a+1){{x}^{2b}}$ انتخاب میشوند. از اینکه جواب حد، برابر با عدد غیر صفر شده است، بنابراین درجه صورت و مخرج کسر باید با هم برابر باشد یعنی $2b=b+7$ که مقدار $b=7$ بهدست میآید. جواب حد برابر با $2$ شده است که این عدد هم از تقسیم ضرایب پرتوانهای موجود در صورت و مخرج کسر بهدست میآید که مقدار $a$ هم بهصورت زیر محاسبه میشود: $\frac{a}{2a+1}=2\Rightarrow 4a+2=a\Rightarrow 3a=-2\Rightarrow a=-\frac{2}{3}\Rightarrow a+b=\frac{19}{3}$ $$