${{S}_{ABCD}}={{a}^{2}}$  $\left\{ \begin{matrix}    AM=BM=BN=CN=\frac{a}{2}  \\    AD=DC=a  \\ \end{matrix} \right.$  ${{S}_{DMN}}={{S}_{ABCD}}-({{S}_{BMN}}+{{S}_{DNC}}+{{S}_{AMD}})={{a}^{2}}-(\frac{1}{2}\times \frac{a}{2}\times \frac{a}{2}+\frac{1}{2}\times a\times \frac{a}{2}+\frac{1}{2}\times a\times \frac{a}{2})={{a}^{2}}-(\frac{{{a}^{2}}}{8}+\frac{{{a}^{2}}}{4}+\frac{{{a}^{2}}}{4})={{a}^{2}}-\frac{5}{8}{{a}^{2}}=\frac{3}{8}{{a}^{2}}\Rightarrow \frac{{{S}_{DMN}}}{{{S}_{ABCD}}}=\frac{\frac{3}{8}{{a}^{2}}}{{{a}^{2}}}=\frac{3}{8}$