در معادلۀ درجه دوم ${{x}^{2}}-6x+4=0$، مجموع و حاصل‌ضرب ریشه‌ها را به‌دست می‌آوریم: $S=\frac{-b}{a}\Rightarrow S=6$    $P=\frac{c}{a}\Rightarrow P=4$ عبارت داده شده را ساده‌تر می‌کنیم: $\frac{\sqrt{\alpha }}{\beta }+\frac{\sqrt{\beta }}{\alpha }=\frac{\alpha \sqrt{\alpha }+\beta \sqrt{\beta }}{\alpha \beta }$  عبارت صورت کسر را برابر با $A$ قرار می‌دهیم و ${{A}^{2}}$  را حساب می‌کنیم: $A=\alpha \sqrt{\alpha }+\beta \sqrt{\beta }\Rightarrow {{A}^{2}}=\underbrace{{{\alpha }^{3}}+{{\beta }^{3}}}_{{{S}^{3}}-3SP}+2\alpha \beta \sqrt{\alpha \beta }={{S}^{3}}-3SP+2P\sqrt{P}={{6}^{3}}-3(6)(4)+2(4)(2)=216-72+16=160\Rightarrow A=\sqrt{160}=4\sqrt{10}$  پس: $\frac{\alpha \sqrt{\alpha }+\beta \sqrt{\beta }}{\alpha \beta }=\frac{4\sqrt{10}}{4}=\sqrt{10}$