اگر ${{x}_{۱}}=\frac{c}{۳a}$ و ${{x}_{۲}}=۵-\frac{b}{a}$ ریشههای معادلۀ درجه دوم $a{{x}^{۲}}+bx+c=۰$ باشند، کدامیک از گزینههای زیر، معادلۀ درجه دومی است که ریشههای آن مربع ریشههای معادلۀ $a{{x}^{۲}}+bx+c=۰$ است؟
میدانیم: ${{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{c}{a}\Rightarrow \frac{c}{3a}{{x}_{2}}=\frac{c}{a}\Rightarrow {{x}_{2}}=3$ از سوی دیگر: ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a}\Rightarrow {{x}_{1}}+5-\frac{b}{a}=-\frac{b}{a}\Rightarrow {{x}_{1}}=-5$ یعنی ریشههای معادلۀ $a{{x}^{2}}+bx+c=0$، 3 و 5- میباشند. حال باید معادلۀ درجه دومی بنویسیم که ریشههای آن 9 و 25 باشند: ${S}'=9+25=34$ ${P}'=9\times 25=225$ پس معادلۀ درجه دوم مورد نظر میتواند به صورت ${{x}^{2}}-34x+225=0$ باشد. (اگر جمع و ضرب ریشههای یک معادلۀ درجه دوم، به ترتیب S و P باشند، معادله به شکل ${{x}^{2}}-Sx+P=0$ میتواند باشد.)