$f$ از نقطه‌ی $(1,2)$ می‌گذرد، بنابراین : $f(1)=2\Rightarrow \frac{a+\sqrt{9}}{b-2}=2\Rightarrow \frac{a+3}{b-2}=2\,\,\,\,(*)$  از طرفی: $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=1\Rightarrow \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{ax+\sqrt{4{{x}^{2}}+5}}{bx-2}=1\Rightarrow \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{ax+2\left| x \right|}{bx}=1$ $\Rightarrow \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{ax-2x}{bx}=1\Rightarrow \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{(a-2)x}{bx}=1\Rightarrow \frac{a-2}{b}=1\Rightarrow b=a-2\,\,\,\,(**)$  با جای‌گذاری $(**)$ در $(*)$ داریم: $\frac{a+3}{a-2-2}=2\Rightarrow \frac{a+3}{a-4}=2\Rightarrow a+3=2a-8\Rightarrow a=11$