اگر $f(x)=\frac{a{{x}^{n}}-۵x}{۳{{x}^{۲}}+۶}$ و $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=۲$ باشد، حاصل $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x+n}-\sqrt{x+۱}}{\sqrt{x+۲}-\sqrt{x}}$ کدام است؟
داریم: $\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{a{{x}^{n}}+b{{x}^{n-1}}+...}{{a}'{{x}^{n}}+b{{x}^{n-1}}}=\frac{a}{{{a}'}}$. با توجه به این نکته نتیجه میشود که $a=6$ و $n=2$ است. $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+2}-\sqrt{x}}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+2}-\sqrt{x}}\times \frac{\sqrt{x+2}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+2}+\sqrt{x}}\times \frac{\sqrt{x+2}+\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+2}+\sqrt{x+1}}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2-1}{2-0}\times \frac{2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}=\frac{1}{2}$