جواب کلی معادلهی $\operatorname{Sin}۳x-\operatorname{Sin}x+۴{{\operatorname{Sin}}^{۲}}x=۲$، با شرط $x\ne ۲k\pi +\frac{\pi }{۲}$ کدام است؟
1
$\frac{k\pi }{۲}$
✓
✗
2
$(۲k+۱)\frac{\pi }{۴}$
✓
✗
3
$k\pi +\frac{\pi }{۴}$
✓
✗
4
$k\pi -\frac{\pi }{۴}$
✓
✗
خطا
با استفاده از اتحاد $\operatorname{Sin}3x=3\operatorname{Sin}x-4{{\operatorname{Sin}}^{3}}x$، داریم: $\operatorname{Sin}3x-\operatorname{Sin}x+4{{\operatorname{Sin}}^{2}}x=2\Rightarrow 3\operatorname{Sin}x-4{{\operatorname{Sin}}^{3}}x-\operatorname{Sin}x+4{{\operatorname{Sin}}^{2}}x=2\Rightarrow (2\operatorname{Sin}x-4{{\operatorname{Sin}}^{3}}x)+(4{{\operatorname{Sin}}^{2}}x-2)=0\Rightarrow 2\operatorname{Sin}x(1-2{{\operatorname{Sin}}^{2}}x)-2(1-2{{\operatorname{Sin}}^{2}}x)=0\Rightarrow (1-2{{\operatorname{Sin}}^{2}}x)(2\operatorname{Sin}x-2)=0\Rightarrow {{\operatorname{Sin}}^{2}}x=\frac{1}{2}*\operatorname{Sin}x=1$ از $\operatorname{Sin}x=1$، با توجه به حالت خاص، نتیجه میشود که $x=2k\pi +\frac{\pi }{2}$، که لا توجه به فرض قابل قبول نیست. میدانیم اگر ${{\operatorname{Sin}}^{2}}u={{\operatorname{Sin}}^{2}}\alpha $، آنگاه $u=k\pi \pm \alpha $، پس: ${{\operatorname{Sin}}^{2}}x=\frac{1}{2}={{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}\Rightarrow {{\operatorname{Sin}}^{2}}x={{\operatorname{Sin}}^{2}}\frac{\pi }{4}\Rightarrow x=k\pi \pm \frac{\pi }{4}$ مانند تست قبل، به ظاهر، این جواب کلی در گزینهها دیده نمیشود. پس باید بین این دو جواب کلی اجتماع بگیریم. انتهای کمان مقابل به زوایای $x=k\pi \pm \frac{\pi }{4}$ بهازای مقادیر مختلف صحیح $k$ بهصورت مقابل است: با توجه به گزینهها، فقط انتهای جواب کلی $(2k+1)\frac{\pi }{4}$ بر جوابهای روی دایره منطبق هستند.