خطا
در شکل مقابل نمودار تابع $y=f(x)$ و خط مماس بر آن در نقطهٔ $x=۱$ رسم شده است. حاصل $\underset{x\to ۱}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(۱)}{۱-\sqrt{x}}$ کدام است؟
1
$-\frac{\sqrt{۳}}{۳}$
✓
✗
2
$-\frac{۲\sqrt{۳}}{۳}$
✓
✗
3
$\frac{\sqrt{۳}}{۳}$
✓
✗
4
$\frac{۲\sqrt{۳}}{۳}$
✓
✗
خطا
با توجه به شکل داده شده، شیب خط مماس بر نمودار تابع $f$ در نقطهٔ $x=1$ برابر است با: $f'(1)=\tan {{30}^{{}^\circ }}=\frac{\sqrt{3}}{3}\Rightarrow \underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ بنابراین: $\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(1)}{1-\sqrt{x}}=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(1)}{1-\sqrt{x}}\times \frac{1+\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}$ $=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(1)}{x-1}\times (-\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,(1+\sqrt{x}))=f'(1)\times (-2)=\frac{-2\sqrt{3}}{3}$