در اثبات نامساوی $\frac{۱}{\sqrt{x}}+\frac{۱}{\sqrt{y}}\ge \frac{۴}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$ از طریق اثبات بازگشتی، رابطهی بدیهی بهدست آمده کدام است؟ ($x$ و $y$ دو عدد حقیقی مثبت هستند.)
$\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}\ge \frac{4}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$ $\Leftrightarrow \frac{\sqrt{y}+\sqrt{x}}{\sqrt{x}\sqrt{y}}\ge \frac{4}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\overset{\times (\sqrt{xy})(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{\longleftrightarrow}{{(\sqrt{x}+\sqrt{y})}^{2}}\ge 4\sqrt{xy}\Leftrightarrow x+y+2\sqrt{xy}\ge 4\sqrt{xy}$ $\Leftrightarrow x+y-2\sqrt{xy}\ge 0\Leftrightarrow {{(\sqrt{x}-\sqrt{y})}^{2}}\ge 0$ با توجه به آنکه تمامی روابط بازگشتپذیر هستند، پس حکم ثابت میشود.