$A$ بر $9$، $10$ و $11$ بخش‌پذیر است $990=9\times 10\times 11$ $A\overset{10}{\mathop{\equiv }}\,0\Rightarrow c=0\Rightarrow A=\overline{a23b50}$  $A\overset{9}{\mathop{\equiv }}\,\Rightarrow a+2+3+b+5+0\overset{9}{\mathop{\equiv }}\,0\Rightarrow a+b\overset{9}{\mathop{\equiv }}\,8\Rightarrow a+b=8*17$  $A\overset{11}{\mathop{\equiv }}\,0\Rightarrow 0-5+b-3+2-a\overset{11}{\mathop{\equiv }}\,0\Rightarrow b-a\overset{11}{\mathop{\equiv }}\,6\Rightarrow b-a=6*(-5)$  $\left\{ _{b-a=6}^{a+b=8} \right.\Rightarrow b=7,a=1\Rightarrow A=123750\overset{8}{\mathop{\equiv }}\,750\overset{8}{\mathop{\equiv }}\,6$  مسئله به ازای حالت‌های دیگر جواب ندارد. توجه: باقی‌مانده‌ی تقسیم یک عدد بر 8 با باقی‌مانده‌ی تقسیم سه رقم آخر آن بر $8$ برابر است.