اگر $\tan ۳\alpha =۵k-۱$ و $\alpha \in \left[ ۰,\frac{\pi }{۱۸} \right)$ باشد، $k$ چند مقدار صحیح میتواند داشته باشد؟
$0\le \alpha \langle \frac{\pi }{18}\xrightarrow{\times 3}0\le 3\alpha \langle \frac{\pi }{6}$ با توجه به اینکه $\tan 3\alpha $ در این بازه، تعریف شده و اکیداً صعودی است، داریم: $\tan 0\le \tan 3\alpha \langle \tan \frac{\pi }{6}\Rightarrow 0\le \tan 3\alpha \langle \frac{\sqrt{3}}{3}$ $\Rightarrow 0\le 5k-1\langle \frac{\sqrt{3}}{3}\Rightarrow 1\le 5k\langle 1+\frac{\sqrt{3}}{3}\Rightarrow 1\le 5k\langle \frac{3+\sqrt{3}}{3}\Rightarrow \frac{1}{5}\le k\langle \frac{3+\sqrt{3}}{15}$ در نتیجه $k$ در این بازه هیچ مقدار صحیحی ندارد.