اگر $f(x)=\left\{ \begin{matrix} {{x}^{۲}}-۲x\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,\,x\ge ۰ \\ -۳x+\left[ x \right]\,\,\,\,,\,\,\,x \lt ۰ \\ \end{matrix} \right.$ باشد، آنگاه حاصل $A=\underset{h\to ۰}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{f}^{۳}}(۳+۲h)-{{f}^{۳}}(۳-h)}{{{h}^{۲}}-h}$ کدام است؟ ($\left[ \, \right]$ علامت جزء صحیح است.)
$A=\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,(\frac{f(3+2h)-f(3-h)}{h})\times \frac{{{f}^{2}}(3+2h)+f(3+2h)f(3-h)+{{f}^{2}}(3-h)}{h-1}$ $=\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,(\frac{f(3+2h)-f(3-h)}{h})\times (\frac{{{f}^{2}}(3)+{{f}^{2}}(3)+{{f}^{2}}(3)}{-1})$ $=\left[ 2\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(3+2h)-f(3)}{2h}+\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(3-h)-f(3)}{-h} \right]\times (-3{{f}^{2}}(3))=3{f}'(3).(-3{{f}^{2}}(3))$ $\Rightarrow f(3)={{(3)}^{2}}-2(3)=3$ برای $x$های مثبت $\Rightarrow {f}'(x)=2x-2$ $\Rightarrow {f}'(3)=2(3)-2=4$ $3{f}'(3).(-3.{{f}^{2}}(3))=3(4).(-3{{(3)}^{2}})=-324$