اگر $\alpha $ و $\beta $ جوابهای معادلۀ ${{x}^{۲}}-۴x+۱=۰$ باشند، حاصل $\frac{۳\alpha }{{{\alpha }^{۲}}+۱}+\frac{۴\beta }{{{\beta }^{۲}}+۱}$ کدام است؟
میدانیم ریشۀ معادله در خود معادله صدق میکند، پس: ${{x}^{2}}-4x+1=0\Rightarrow {{x}^{2}}+1=4x\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} {{\alpha }^{2}}+1=4\alpha \\ {{\beta }^{2}}+1=4\beta \\ \end{matrix} \right.$ در عبارت خواسته شده خواهیم داشت: $\frac{3\alpha }{{{\alpha }^{2}}+1}+\frac{4\beta }{{{\beta }^{2}}+1}=\frac{3\alpha }{4\alpha }+\frac{4\beta }{4\beta }=\frac{3}{4}+1=\frac{7}{4}$