به ازای چند عدد طبيعی كوچكتر از ۵۰ مانند $n$ ، عدد ${{۲}^{n}}+۱$ بر ۶۵ بخشپذير است؟
نکته: $a\overset{m}{\mathop{\equiv }}\,b\Rightarrow {{a}^{n}}\overset{m}{\mathop{\equiv }}\,{{b}^{n}}\left( n\in N \right)$ بايد داشته باشيم: ${{2}^{n}}+1\overset{65}{\mathop{\equiv }}\,0\Rightarrow {{2}^{n}}\overset{65}{\mathop{\equiv }}\,-1\left( * \right)$ از طرفی داريم: ${{2}^{6}}\overset{65}{\mathop{\equiv }}\,-1\to {{\left( {{2}^{6}} \right)}^{2k+1}}\overset{65}{\mathop{\equiv }}\,-1\Rightarrow {{2}^{12k+6}}\overset{65}{\mathop{\equiv }}\,-1\left( ** \right)$ از $\left( * \right)$ از $\left( ** \right)$ نتیجه میگیریم: $n=12k+6\xrightarrow{1\le n\le 49}1\le 12k+6\le 49\Rightarrow 0\le k\le 3$ بنابراين ۴ عدد طبيعی با ويژگیهای موردنظر وجود دارد.