از رابطه‌ی $1+{{\tan }^{2}}x=\frac{1}{{{\operatorname{Cos}}^{2}}x}$ استفاده می‌کنیم. داریم: $8{{\operatorname{Sin}}^{2}}x+k\operatorname{Sin}2x=1\xrightarrow{\div {{\operatorname{Cos}}^{2}}x}8{{\tan }^{2}}x+\frac{2k\operatorname{Sin}x\operatorname{Cos}x}{{{\operatorname{Cos}}^{2}}x}=\frac{1}{{{\operatorname{Cos}}^{2}}x}$ $\Rightarrow 8{{\tan }^{2}}x+2k\tan x=1+{{\tan }^{2}}x\Rightarrow 7{{\tan }^{2}}x+2k\tan x-1=0$  فرض کنیم ${{x}_{1}}$ و ${{x}_{2}}$ جواب‌های متمایز این معادله در بازه‌ی $\left[ 0,\pi  \right]$ باشد. در این‌صورت $\tan {{x}_{1}}$ و $\tan {{x}_{2}}$ جواب‌های متمایز معادله‌ی اخیر خواهد بود. پس $\tan {{x}_{1}}+\tan {{x}_{2}}=-\frac{b}{a}=-\frac{2k}{7}$ و $\tan {{x}_{1}}\tan {{x}_{2}}=\frac{c}{a}=-\frac{1}{7}$ . داریم: ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{3\pi }{4}\Rightarrow \tan ({{x}_{1}}+{{x}_{2}})=\tan \frac{3\pi }{4}$ $\Rightarrow \frac{\tan {{x}_{1}}+\tan {{x}_{2}}}{1-\tan {{x}_{1}}\tan {{x}_{2}}}=-1\Rightarrow \frac{-\frac{2k}{7}}{1-(\frac{1}{7})}=-1\Rightarrow -\frac{2k}{8}=-1\Rightarrow 2k=8\Rightarrow k=4$