تابع $y=x-۲{{\operatorname{Sin}}^{۲}}x$ در كدام بازه نزولی و تقعر آن روبهپايين است؟
1
$(۰,\frac{\pi }{۱۲})$
✓
✗
2
$(\frac{\pi }{۱۲},\frac{\pi }{۴})$
✓
✗
3
$(\frac{\pi }{۴},\frac{۵\pi }{۱۲})$
✓
✗
4
$(\frac{۵\pi }{۱۲},\frac{۳\pi }{۴})$
✓
✗
خطا
برای آنكه تابع نزولی با تقعر روبهپايين باشد، بايد ${f}'\lt 0$ و ${f}''\lt 0$. پس داریم: ${f}'(x)=1-4\operatorname{Sin}x\operatorname{Cos}x\Rightarrow {f}'(x)=1-2\operatorname{Sin}2x\Rightarrow {f}'(x)=0\Rightarrow x=\frac{\pi }{12},\frac{5\pi }{12},...$ ${f}''(x)=-4\operatorname{Cos}2x\Rightarrow {f}''(x)=0\Rightarrow x=\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4},...$ بنابراين با توجه به گزينهها، $x\in (\frac{\pi }{12},\frac{\pi }{4})$ است. دقت كنيد كه سؤال، پاسخهای زيادی دارد، ولی با توجه به گزينهها، ريشهها را در بازهٔ $(0,\pi )$ محاسبه كرديم. صفحههای ۱۲۱ و ۱۲۹ حسابان ۲