$a-\frac{2}{3},a,b$ دنباله هندسی $\Rightarrow {{a}^{2}}=(a-\frac{2}{3}).b$  $a-\frac{2}{3},a+\frac{2}{3},b$ دنباله حسابی $\Rightarrow 2(a+\frac{2}{3})=a-\frac{2}{3}+b$    در نتیجه: $2a+\frac{4}{3}=a-\frac{2}{3}+b\Rightarrow a-b=-2\Rightarrow b=a+2$ بنابراین: ${{a}^{2}}=(a-\frac{2}{3})(a+2)\Rightarrow {{a}^{2}}={{a}^{2}}+\frac{4}{3}a-\frac{4}{3}\Rightarrow \frac{4}{3}a=\frac{4}{3}\Rightarrow a=1$ $a=1\Rightarrow b=3$ $\frac{1}{3},\frac{5}{3},3$ جملات دنباله حسابی $\Rightarrow d=\frac{5}{3}-\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$  ${{S}_{12}}=\frac{12}{2}\left[ 2(\frac{1}{3})+(12-1)\times \frac{4}{3} \right]=6(\frac{2}{3}+\frac{44}{3})=2\times 46=92$