نکته: $a\overset{m}{\mathop{\equiv }}\,b\Rightarrow a=mk+b$ اعداد $5a-1$ و $3a+7$ رقم یکانشان برابر است، پس به پیمانهٔ 10 با هم هم‌نهشت هستند. $5a-1\overset{10}{\mathop{\equiv }}\,3a+7\Rightarrow 2a\overset{10}{\mathop{\equiv }}\,8\Rightarrow 2a=10k+8$ حال یکان عدد داده‌شده را به‌دست می‌آوریم: ${{(2a+9)}^{101}}\overset{10}{\mathop{\equiv }}\,{{(10k+8+9)}^{101}}\overset{10}{\mathop{\equiv }}\,{{17}^{101}}\overset{10}{\mathop{\equiv }}\,{{7}^{101}}\overset{10}{\mathop{\equiv }}\,{{({{7}^{2}})}^{50}}\times {{7}^{1}}\overset{10}{\mathop{\equiv }}\,{{49}^{50}}\times 7\overset{10}{\mathop{\equiv }}\,{{(-1)}^{50}}\times 7\overset{10}{\mathop{\equiv }}\,7$