از میان $۷$ کشتی گیر و $۵$ وزنهبردار، به چند طریق میتوان $۳$ نفر را انتخاب کرد به طوری که حداقل یک نفر از آنها کشتیگیر باشد؟
حداقل یک نفر كشتیگير باشد يعنی يا یک كشتیگير و دو وزنه بردار، يا دو كشتیگير و یک نفر وزنهبردار و يا هر سه كشتیگير باشند. بنابراين: $\begin{align} & \left( \begin{matrix} 7 \\ 1 \\\end{matrix} \right)\times \left( \begin{matrix} 5 \\ 2 \\\end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} 7 \\ 2 \\\end{matrix} \right)\times \left( \begin{matrix} 5 \\ 1 \\\end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} 7 \\ 3 \\\end{matrix} \right) \\ & =7\times \frac{5!}{2!\times 3!}+\frac{7!}{2!\times 5!}\times 5+\frac{7!}{3!\times 4!} \\ & =7\times 10+21\times 5+35=70+105+35=210 \\ \end{align}$