اگر $A$ و $B$ دو ماتریس باشند به طوری که ${{B}^{۲}}=\left[ \begin{matrix} ۷ & ۳ \\ ۹ & ۷ \\\end{matrix} \right],{{A}^{۲}}=\left[ \begin{matrix} ۰ & ۳ \\ -۳ & ۳ \\\end{matrix} \right]$ و $A+B=\left[ \begin{matrix} ۳ & ۲ \\ ۲ & ۳ \\\end{matrix} \right]$. حاصل $AB+BA$ کدام است؟
میدانیم $(A+B)\times (A+B)$ برابر ${{A}^{2}}+AB+BA+{{B}^{2}}$ میباشد، پس: $(A+B)\times (A+B)=\left[ \begin{matrix} 3 & 2 \\ 2 & 3 \\\end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} 3 & 2 \\ 2 & 3 \\\end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} 13 & 12 \\ 12 & 13 \\\end{matrix} \right]$ بنابراین داریم: $\left[ \begin{matrix} 13 & 12 \\ 12 & 13 \\\end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} 0 & 3 \\ -3 & 3 \\\end{matrix} \right]+AB+BA+\left[ \begin{matrix} 7 & 3 \\ 9 & 7 \\\end{matrix} \right]\Rightarrow AB+BA=\left[ \begin{matrix} 13 & 12 \\ 12 & 13 \\\end{matrix} \right]-\left[ \begin{matrix} 7 & 6 \\ 6 & 10 \\\end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} 6 & 6 \\ 6 & 3 \\\end{matrix} \right]$