نكته: اگر باقی‌ماندهٔ تقسيم $a$ بر $m$ برابر r باشد، آنگاه: $a\overset{m}{\mathop{\equiv }}\,r$ نكته: هرگاه بخواهيم كوچک‌ترين عدد نامنفی و همنهشت با عدد $a$ درپيمانۀ $m$ را پيداكنيم،كافيست عدد $a$ را بر $m$ تقسيم كرده و باقی‌ماندهٔ آن را به‌دست آوريم. نكته: اگر دو عدد $a$ و $b$ در تقسيم بر عدد طبيعی $m$ هم باقی‌مانده باشند، آنگاه: $a\overset{m}{\mathop{\equiv }}\,b$ نکته: $a\overset{m}{\mathop{\equiv }}\,b\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} {{a}^{n}}\overset{m}{\mathop{\equiv }}\,{{b}^{n}}  \\ ac\overset{m}{\mathop{\equiv }}\,bc  \\ a\pm c\overset{m}{\mathop{\equiv }}\,b\pm c  \\ \end{matrix} \right.$      $(n\in \mathbb{N},c\in \mathbb{Z})$ با توجه به نكات بالا داريم:  $1!+2!+3!+4!+\underbrace{5!+...+50!}_{{}}\overset{10}{\mathop{\equiv }}\,1+2+\underbrace{6+24}_{30}\overset{10}{\mathop{\equiv }}\,3$