ابتدا توجه کنید که اگر $x\to {{0}^{+}}$ آن‌گاه $(x-\sin x)\to {{0}^{+}}$ و اگر $x\to {{0}^{-}}$ آن‌گاه $(x-\sin x)\to {{0}^{-}}$ بنابراین: $\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{k+\left[ -x \right]}{x-\sin x}=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{k-1}{x-\sin x}=-\infty \Rightarrow k-1 \lt 0\Rightarrow k \lt 1$  $\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{k+\left[ -x \right]}{x-\sin x}=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{k}{x-\sin x}=-\infty \Rightarrow k \gt 0$   پس $0 \lt k \lt 1$، بنابراین حداکثر مقدار $b-a$ به‌ازای $b=1$ و $a=0$ حاصل می‌شود که برابر $1$ است.