باید تابع در $x=0$ پیوسته باشد:  $\left. \begin{matrix}   \underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f(0)=\sqrt{b}  \\   \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\frac{2}{a}  \\\end{matrix} \right\}\Rightarrow \frac{2}{a}=\sqrt{b}\,\,\,\,\,\,\,(*)$ مقادیر مشتق چپ و راست هم باید برابر باشند:  $\begin{align}  & {f}'(x)=\left\{ \begin{matrix}   \frac{a-2}{{{(x+a)}^{2}}} & x \gt 0  \\   \frac{2x}{2\sqrt{{{x}^{2}}+b}}+\frac{1}{8} & x \lt 0  \\\end{matrix} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}   {{{{f}'}}_{+}}(0)=\frac{a-2}{{{a}^{2}}}  \\   {{{{f}'}}_{-}}(0)=\frac{1}{8}  \\\end{matrix}\Rightarrow \frac{a-2}{{{a}^{2}}}=\frac{1}{8} \right. \\  & \Rightarrow {{a}^{2}}-8a+16=0\Rightarrow a=4\xrightarrow{(*)}\sqrt{b}=\frac{2}{4}\Rightarrow b=\frac{1}{4} \\ \end{align}$