به چند طریق میتوانیم از بین $۶$ دانشآموز پایهٔ دهم و $۷$ دانشآموز پایهٔ یازدهم یک تیم $۶$ نفرهٔ والیبال تشکیل دهیم، بهطوری که حداقل $۴$ نفر از اعضای تیم، دانشآموز یازدهم باشند؟
حداقل $4$ نفر از اعضای تیم، یعنی $4$ یا $5$ یا $6$ نفر از دانشآموزان یازدهم باشند. بنابراین: الف) اگر $4$ نفر دانشآموز یازدهم باشند: $\left( \begin{matrix}7 \\4 \\\end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}6 \\2 \\\end{matrix} \right)=\frac{7!}{4!\times 3!}\times \frac{6!}{4!\times 2!}=\frac{7\times 6\times 5\times 4!}{4!\times 3\times 2\times 1}\times \frac{6\times 5\times 4!}{4!\times 2!}$ $=35\times 15=525$ ب) اگر $5$ نفر دانشآموز یازدهم باشند: $\left( \begin{matrix}7 \\5 \\\end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}6 \\1 \\\end{matrix} \right)=\frac{7!}{5!\times 2!}\times 6=\frac{7\times 6\times 5!}{5!\times 2\times 1}\times 6=21\times 6=126$ ج) اگر هر $6$ نفر دانشآموز یازدهم باشند: $\left( \begin{matrix}7 \\6 \\\end{matrix} \right)=\frac{7!}{6!\times 1!}=7$ طبق اصل جمع $\to 525+126+7=658$