از مخرج مشترک‌گیری استفاده می‌کنیم ولی قبل از آن از اتحاد $1-\cos x=2{{\sin }^{2}}\frac{x}{2}$ استفاده می‌کنیم: $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,(\frac{1}{-2{{\sin }^{2}}\frac{x}{2}}-\frac{1}{x})=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,(\frac{x+2{{\sin }^{2}}\frac{x}{2}}{-2{{\sin }^{2}}\frac{x}{2}\times x})$  $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+2{{(\frac{x}{2})}^{2}}}{-2{{(\frac{x}{2})}^{2}}\times x}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{x(1+\frac{x}{2})}{-\frac{{{x}^{3}}}{2}}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1+0}{-\frac{{{x}^{2}}}{2}}=-\infty $