تعداد جوابهای معادلۀ ${{\left( \operatorname{sinx}+\operatorname{cosx} \right)}^{۲}}=\cos ۴x$ در بازۀ $\left[ ۰,\pi \right]$ کدام است؟
${{\left( \operatorname{sinx}+\operatorname{cosx} \right)}^{2}}=\cos 4x\Rightarrow 1+\sin 2x=1-2{{\sin }^{2}}2x$ $\Rightarrow 2{{\sin }^{2}}2x+\sin 2x=0\Rightarrow \sin 2x(2\sin 2x+1)=0$ $\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \sin 2x=0\Rightarrow 2x=k\pi \Rightarrow x=\frac{k\pi }{2}\left( k\in z \right)\xrightarrow{x\in \left[ 0,\pi \right]}x=0,\frac{\pi }{2},\pi \\ 2\sin 2x+1=0\Rightarrow \sin 2x=-\frac{1}{2}=\sin \left( \frac{-\pi }{6} \right)\begin{matrix} {} & \left( * \right) \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right.$ $\left( * \right)\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} 2x=2k\pi -\frac{\pi }{6}\Rightarrow x=k\pi -\frac{\pi }{12}\xrightarrow{x\in \left[ 0,\pi \right]}x=\frac{11\pi }{12} \\ 2x=2k\pi +\pi -\left( \frac{-\pi }{6} \right)\Rightarrow x=k\pi +\frac{7\pi }{12}\left( k\in z \right)\xrightarrow{x\in \left[ 0,\pi \right]}x=\frac{7\pi }{12} \\ \end{matrix} \right.$ پس معادلۀ داده شده، پنج جواب در بازۀ $\left[ 0,\pi \right]$ دارد.