تابع با ضابطهی $f\left( x \right)=\frac{x}{\sqrt{{{x}^{۲}}+۱}}$ در بازهی $\left[ ۱,+\infty \right)$ چگونه است؟
ابتدا ضابطهی $f\left( x \right)$ را ساده میکنیم: $f\left( x \right)=\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}(1+\frac{1}{{{x}^{2}}})}}=\frac{x}{\left| x \right|\sqrt{1+\frac{1}{{{x}^{2}}}}}\underline{\underline{x\in \left[ 1,+\infty \right)}}\frac{1}{\sqrt{1+{{(\frac{1}{x})}^{2}}}}$ $x \gt x'\ge 1\Rightarrow \frac{1}{{{x}^{2}}} \lt \frac{1}{x{{'}^{2}}}\Rightarrow \sqrt{1+\frac{1}{{{x}^ {2}}}} \lt \sqrt{1+\frac{1}{x{{'}^{2}}}}\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{{{x}^{2}}}}} \gt \frac{1} {\sqrt{1+\frac{1}{x{{'}^{2}}}}}\Rightarrow f(x) \gt f(x')$ پس $f$ صعودی اکید است.