تابع با ضابطهی $f\left( x \right)=\left\{ \begin{matrix} \begin{align} & ۲x+۳a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x\gt -۲ \\ & ۲\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x=-۲ \\ \end{align} \\ {{x}^{۲}}-۲bx\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x\lt -۲ \\\end{matrix} \right.$ در نقطهی $x=-۲$ پیوسته است. $a+b$ کدام است؟
شرط پیوسته بودن یک تابع این است که حد چپ و راست و مقدار خود تابع در نقطه مورد نظر برابر شوند. حد راست $\Rightarrow \,\lim\limits_{x\to {{\left( -2 \right)}^{+}}}f\left( x \right)=\lim\limits_{x\to {{\left( -2 \right)}^{+}}}\left( 2x+3a \right)\overset{x=-2}{\mathop{=}}\,\,2\left( -2 \right)+3a=-4+3a$ حد چپ $\Rightarrow \,\lim\limits_{x\to {{\left( -2 \right)}^{-}}}f\left( x \right)=\lim\limits_{x\to {{\left( -2 \right)}^{-}}}\left( {{x}^{2}}-2bx \right)=\,{{\left( -2 \right)}^{2}}-2b\left( -2 \right)=4+4b$ مقدار خود تابع در نقطه 2- $\Rightarrow f\left( -2 \right)=2$ چون تابع $f\left( x \right)$ در $x=-2$ پیوسته است در نتیجه: برابری حد راست و مقدار خود تابع $\Rightarrow -4+3a=2\Rightarrow 3a=2+4=6\Rightarrow a=2$ برابری حد چپ و مقدار خود تابع $\Rightarrow 4+4b=2\Rightarrow 4b=2-4\Rightarrow 4b=-2\Rightarrow b=\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2}$ مقدار خواسته شده در صورت سؤال برابر $a+b=2+\left( \frac{-1}{2} \right)=\frac{3}{2}$ میشود.