نکته: در معادلۀ درجه دوم $a{{x}^{2}}+bx+c=0$، مجموع و حاصل‌ضرب ریشه‌ها به ترتیب برابر $S=\frac{-b}{a}$ و $P=\frac{c}{a}$است.  $\frac{2{{x}^{2}}+13x-7}{3{{x}^{2}}+bx+c}=0\Rightarrow 2{{x}^{2}}+13x-7=0\Rightarrow (2x-1)(x+7)=0\Rightarrow x=\frac{1}{2},-7$  طبق فرض این معادله فاقد ریشه است، پس باید $x=\frac{1}{2}$ و $x=-7$ ریشه‌های مخرج کسر هم باشند. با توجه به اینکه مخرج کسر درجه دوم است، این دو مقدار تنها ریشه‌های آن هستند، پس: $\left\{ \begin{matrix}   S=\frac{-b}{3}=-7+\frac{1}{2}  \\   P=\frac{c}{3}=-7\times \frac{1}{2}  \\ \end{matrix} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}   \frac{-b}{3}=-\frac{13}{2}  \\   \frac{c}{3}=-\frac{7}{2}  \\ \end{matrix} \right.\xrightarrow{{}}\frac{-b}{3}+\frac{c}{3}=-\frac{13}{2}-\frac{7}{2}\Rightarrow \frac{c-b}{3}=-\frac{20}{2}\Rightarrow c-b=-30$  بنابراین: $b-c=30$