$\left| 2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b} \right|=\sqrt{85}\Rightarrow {{\left| 2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b} \right|}^{2}}=85$ $\Rightarrow 4{{\left| \overrightarrow{a} \right|}^{2}}+12\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+9{{\left| \overrightarrow{b} \right|}^{2}}=85$ $\Rightarrow 16+12\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+45=85\Rightarrow 12\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=24\Rightarrow \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=2$ اگر بردار $\overrightarrow{a}'$ تصویر قائم بردار $\overrightarrow{a}$ بر راستای بردار $\overrightarrow{b}$ باشد، داریم؛ $\left| \overrightarrow{a}' \right|=\frac{\left| \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} \right|}{\left| \overrightarrow{b} \right|}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$