اگر $۱۱\left| a+۳b+k \right.$ و $۱۱\left| ۵a+۴b+۳ \right.$، آنگاه کمترین مقدار طبیعی $k$ کدام است؟ $(a,b\in Z)$
$\left. _{11\left| 5a+4b+3 \right.}^{11\left| a+3b+k\Rightarrow 11\left| 5a+15b+5k \right. \right.} \right\}\to 11\left| 11b+5k-3\Rightarrow \left. _{11\left| 11b+5k-3 \right.}^{11\left| 11b \right.} \right\} \right.$ $\to 11\left| 5k-3\Rightarrow 5k-3=11q\Rightarrow k=\frac{11q+3}{5}\xrightarrow{q=2}{{k}_{\min }}=5 \right.$