باقی‌مانده‌ی تقسیم $f\left( x \right)$ بر $\left( x-2 \right)$ و $\left( x+1 \right)$ به ترتیب عبارتند از $f\left( 2 \right)$ و $f\left( -1 \right)$ ، داریم: $f\left( 2 \right)=f\left( -1 \right)+12\Rightarrow 8+4a+2b+1=-1+a-b+1+12$  $\Rightarrow 3a+3b=3\Rightarrow a+b=1\Rightarrow b=1-a$  $f\left( x \right)={{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+bx+1={{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+\left( 1-a \right)x +1\Rightarrow f\left( x \right)=({{x}^{3}}+1)+a{{x}^{2}}-ax+x$  $=\left( {{x}^{3}}+1 \right)+\left( a{{x}^{2}}-ax+a \right)+x-a=(x+1)({{x}^{2}}-x+1)+a({{x}^{2}}-x+1)+x-a$  بنابراین باقی مانده‌ی تقسیم $f\left( x \right)$ بر $({{x}^{2}}-x+1)$ برابر است با $\left( x-a \right)$ .