نکته: اگر ارزش دو گزاره یکسان باشد، آن‌ها را گزاره‌های هم‌ارز (هم‌ارزش) می‌نامیم. $(p\Rightarrow q)=\left[ (p\Rightarrow q)\wedge (q\Rightarrow p) \right]$ گزینه‌های $1$، $2$ و $3$ در اثبات به روش بازگشتی ثابت می‌شود که هم‌ارز هستند. (اثبات‌ها در کتاب درسی آمده‌اند.) اما در گزینۀ $4$ به روش اثبات بازگشتی داریم: $\frac{a}{{{b}^{2}}}+\frac{b}{{{a}^{2}}}\ge \frac{1}{a}+\frac{1}{b}\Leftrightarrow \frac{{{a}^{3}}+{{b}^{3}}}{{{a}^{2}}{{b}^{2}}}\ge \frac{a+b}{ab}\overset{\times ab\gt 0}{\longleftrightarrow}\frac{{{a}^{3}}+{{b}^{3}}}{ab}\ge a+b\Leftrightarrow (a+b)({{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}})\ge ab(a+b)$ $\overset{\div a+b\gt 0}{\longleftrightarrow}{{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}}\ge ab\Leftrightarrow {{a}^{2}}-2ab+{{b}^{2}}\ge 0\Leftrightarrow {{(a-b)}^{2}}\ge 0\equiv (a+b)\ge 0$ پس گزینۀ $4$ پاسخ است.