جملات هندسی به صورت ${{2}^{\frac{1}{2}}},{{2}^{1}},{{2}^{\frac{3}{2}}},...$ هستند. حاصل ضرب آن‌ها برابر است با: ${{P}_{n}}={{2}^{\frac{1}{2}}}\times {{2}^{1}}\times {{2}^{\frac{3}{2}}}\times ...={{2}^{\frac{1}{2}+1+\frac{3}{2}+...}}$  عدد ${{4}^{69}}$ را به صورت${{2}^{138}}$می‌توانیم بنویسیم. اعداد $\frac{1}{2}$ ،$1$ و $\frac{3}{2}$ و... با هم تشکیل دنبالۀ حسابی با جملۀ اول ${{a}_{1}}=\frac{1}{2}$ و قدر نسبت $d=\frac{1}{2}$ می‌دهند. می‌خواهیم مجموع آن‌ها برابر با 138 شود. ${{S}_{n}}=\frac{n}{2}\left[ 2{{a}_{1}}+(n-1)d \right]\Rightarrow 138=\frac{n}{2}\left[ 2(\frac{1}{2})+(n-1)(\frac{1}{2}) \right]\Rightarrow 276=n\left[ 1+\frac{n}{2}-\frac{1}{2} \right]\Rightarrow 276=\frac{{{n}^{2}}}{2}+\frac{n}{2}\xrightarrow{\times 2}{{n}^{2}}+n-552=0$ $\Rightarrow (n+24)(n-23)=0\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}   n=-24  \\ n=23  \\ \end{matrix} \right.$