اگر $\underset{x\to ۱}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+۲}{{{x}^{۲}}+ax+b}=+\infty $، حاصل $\underset{x\to ۲}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{۳}}-۳bx-۲}{{{x}^{۲}}+ax}$ کدام است؟
$\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+2}{{{x}^{2}}+ax+b}=+\infty $ چون حد صورت برابر $3$ است، برای اینکه حاصل حد $+\infty $ باشد، باید $x=1$ ریشهی مضاعف مخرج باشد. $\Rightarrow {{x}^{2}}+ax+b={{(x-1)}^{2}}\Rightarrow {{x}^{2}}+ax+b={{x}^{2}}-2x+1\Rightarrow a=-2\,,\,b=1$ $\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{3}}-3x-2}{{{x}^{2}}-2x}=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{(x-2)({{x}^{2}}+2x+1)}{x(x-2)}=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{(x+1)}^{2}}}{x}=\frac{9}{2}$