اگر بین ریشههای معادلهٔ درجه دوم $a{{x}^{۲}}+bx+c=۰$ رابطه ${x}''=۰$ $۲{x}'-{x}''+۳{x}'$ برقرار باشد، یکی از ریشههای معادله بر حسب s، p (حاصل جمع و حاصل ضرب ریشههای معادله)، کدام است؟
${x}'{x}''=\frac{c}{a}\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,\,\,\,{x}'+{x}''=\frac{-b}{a}$ در نتیجه: $2{x}'-{x}''+3{x}'{x}''=2{x}'-{x}''+\frac{3c}{a}=0$ $\begin{align} & \left\{ \begin{matrix} 2{x}'-{x}''=\frac{-3c}{a} \\ {x}'+{x}''=\frac{b}{a}\,\,\,\,\,\,\,\, \\\end{matrix}\Rightarrow 3{x}'=\frac{-3c}{a}-\frac{b}{a}\Rightarrow {x}'=\frac{-c}{a}+\frac{1}{3}(-\frac{b}{a})=-p+\frac{1}{3} \right. \\ & {x}''=-\frac{b}{a}-(-\frac{c}{a}+\frac{1}{3}(-\frac{b}{a}))=-\frac{b}{a}+\frac{c}{a}-\frac{1}{3}(-\frac{b}{a})=s+p-\frac{1}{3}s=p+\frac{2}{3}s \\ \end{align}$