حاصل عبارت $\frac{{{t}^{۱۱}}+{{t}^{۱۰}}+{{t}^{۹}}+...+t+۱}{{{t}^{۹}}+{{t}^{۶}}+{{t}^{۳}}+۱}$ به ازای $t=\frac{-۱+\sqrt{۵}}{۲}$ کدام است؟
صورت و مخرج کسر، مجموع جملات دو دنبالۀ هندسی هستند. $\frac{{{t}^{11}}+{{t}^{10}}+{{t}^{9}}+...+t+1}{{{t}^{9}}+{{t}^{6}}+{{t}^{3}}+1}\frac{\frac{1(1-{{t}^{12}})}{1-t}}{\frac{1(1-{{({{t}^{3}})}^{4}}}{1-{{t}^{3}}}}=\frac{1-{{t}^{3}}}{1-t}=\frac{(1-t)(1+t+{{t}^{2}})}{1-t}=1-t+{{t}^{2}}$ با توجه به اینکه $t=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$، داریم: $2t+1=\sqrt{5}\xrightarrow{{{*}^{2}}}{{(2t+1)}^{2}}={{(\sqrt{5})}^{2}}\Rightarrow 4{{t}^{2}}+4t+1=5\Rightarrow 4({{t}^{2}}+t)=4\Rightarrow {{t}^{2}}+t=1$ بنابراین حاصل کسر برابر است با: $\xrightarrow{{}}\underbrace{t+{{t}^{2}}}_{1}+1=1+1=2$