می‌دانیم $\frac{{{n}^{2}}{{(n+1)}^{2}}}{4}={{(\frac{n(n+1)}{2})}^{2}}$ است، پس اگر $\frac{{{n}^{2}}{{(n+1)}^{2}}}{4}$ زوج باشد، آن‌گاه $\frac{n(n+1)}{2}$ نیز زوج است. $n$ و $n+1$ دو عدد متوالی هستند، پس قطعاً یکی زوج و دیگری فرد است. با توجه به آن‌که $\frac{n(n+1)}{2}$ زوج است، پس $n(n+1)$ باید مضرب 4 باشد، در نتیجه 2 حالت داریم: $n=4k\xrightarrow{1\le n\lt 100}1\le 4k\lt 100$ $\Rightarrow 1\le k\lt 25\Rightarrow $   24 مقدار برای $k$ به‌دست می‌آید. $n+1=4k\Rightarrow n=4k-1$ $\xrightarrow{1\le n\lt 100}1\le 4k-1\lt 100\Rightarrow 2\le 4k\lt 101\Rightarrow 1\le k\le 25\Rightarrow $ 25 مقدار برای $k$ به‌دست می‌آید. پس به ازای 49 عدد طبیعی $1\le n\lt 100$، حاصل $\frac{{{n}^{2}}{{(n+1)}^{2}}}{4}$ زوج است.