$AB=\left[ \begin{matrix}2\alpha  & 1  \\1 & \beta   \\\end{matrix} \right]\times \left[ \begin{matrix}1 & 1  \\-1 & 2  \\\end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}2\alpha -1 & 2\alpha +2  \\1-\beta  & 1+2\beta   \\\end{matrix} \right]$ می‌دانیم در ماتریس قطری تمام درایه‌های غیر واقع بر قطر اصلی برابر با صفر هستند، بنابراین داریم: $\left\{ \begin{matrix}2\alpha +2=0\Rightarrow \alpha =-1  \\1-\beta =0\Rightarrow \beta =1  \\\end{matrix}\Rightarrow  \right.{{\alpha }^{3}}+{{\beta }^{3}}=-1+1=0$ تذکر: اگر به جای محاسبهٔ $AB$، ماتریس $BA$ را محاسبه کنیم، آنگاه $\alpha =1$ و $\beta =-1$ خواهد بود و در نتیجه جواب نهایی مسئله تغییری نمی‌کند.