وقتی $x\to 1$ مخرج کسر صفر می‌شود ولی حد موجود است، پس لازم است صورت کسر هم به ازای $x=1$ صفر شود: $\sqrt{a+b}-2=0\Rightarrow a+b=4\Rightarrow b=4-a\begin{matrix}{} & {}  \\\end{matrix}(*)$ حال با ضرب مزدوج صورت در صورت و مخرج کسر، حد را ساده می‌کنیم: $_{x\to 1}^{\lim }\frac{\sqrt{ax+b}-2}{(x-1)({{x}^{2}}+x+1)}\times \frac{\sqrt{ax+b}+2}{\sqrt{ax+b}+2}=_{x\to 1}^{\lim }\frac{ax+b-4}{(x-1)({{x}^{2}}+x+1)(\sqrt{ax+b}+2)}\begin{matrix}{}  \\{{\underline{\underline{(*)}}}_{_{_{x\to 1}^{\lim }}}}  \\{}  \\\end{matrix}\frac{a(x-1)}{(x-1)({{x}^{2}}+x+1)(\sqrt{ax+b}+2)}$ مطابق فرض سؤال حاصل حد برابر $\frac{2}{3}$ است، پس: $\frac{a}{12}=\frac{2}{3}\Rightarrow a=8$  $,$  $b=-4\Rightarrow a-b=12$