اگر تابع با ضابطهی $f\left( x \right)=\left\{ \begin{matrix} \frac{{{x}^{۲}}-۱}{\left| x-۱ \right|}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,x\ne ۱ \\ a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,x=۱ \\\end{matrix} \right.$ باشد به ازای کدام مقدار a در $x=۱$ پیوسته است؟
برای این که یک تابع در یک نقطه خاص پیوسته باشد باید حد چپ، حد راست و مقدار خود تابع در نقطه داده شده برابر باشند. میتوان صورت کسر را شرط اول تابع داده شده را به صورت زیر تجزیه کرد و مقدار حد چپ را به دست آورد. لازم به ذکر است چون حد چپ را میخواهیم به دست آوریم قدر مطلق مخرج در یک منفی ضرب میشود. حد چپ $\lim\limits_{x\to {{1}^{-}}}f\left( x \right)=\lim\limits_{x\to {{1}^{-}}}\frac{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}{-\left( x-1 \right)}=\lim\limits_{x\to {{1}^{-}}}\frac{\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)}{\left( x-1 \right)}=-\left( x+1 \right)=-\left( 1+1 \right)=-2$ حد راست $\lim\limits_{x\to {{1}^{+}}}f\left( x \right)=\lim\limits_{x\to {{1}^{+}}}\frac{{{x}^{2}}-1}{\left| x-1 \right|}\,\lim\limits_{\left| x-1 \right|=x-1}{\overset{{{x}^{2}}-1=\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)}{\mathop{=}}}\,\,\,\frac{\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)}{\left( x-1 \right)}=\left( x+1 \right)=1+1=2$ چون حد چپ و راست تابع داده شده در نقطه 1 برابر نشد این تابع در نقطه 1 پیوسته نیست. تذکر: در حالت حد راست چون xها از سمت راست به 1 نزدیک میشوند حاصل $\left| x-1 \right|$ برابر $x-1$ میشود ولی در حالت حد چپ چون xها از سمت چپ به 1 نزدیک میشوند حاصل $\left| x-1 \right|$ برابر $-\left( x-1 \right)$ میشود.