معادلهی $۵x+۱۰y+n={{n}^{۳}}$، به ازای چند مقدار $n$ از مجموعهی $A=\left\{ ۱,۲,۳,...,۱۰۰ \right\}$ در $Z$ دارای جواب است؟
شرط وجود جواب برای معادلهی $5x+10y={{n}^{3}}-n$ در $Z$، آن است که $\left( 5,10 \right)=5\left| {{n}^{3}} \right.-n$ . بنابراين داريم: ${{n}^{3}}-n\overset{5}{\mathop{\equiv }}\,0\Rightarrow n\left( n-1 \right)\left( n+1 \right)\overset{5}{\mathop{\equiv }}\,0\Rightarrow \left\{ _{_{n+1\overset{5}{\mathop{\equiv }}\,0\Rightarrow n\overset{5}{\mathop{\equiv }}\,-1\overset{5}{\mathop{\equiv }}\,4\Rightarrow n=5k+4*\left( k\in Z \right)}^{n-1\overset{5}{\mathop{\equiv }}\,0\Rightarrow n\overset{5}{\mathop{\equiv }}\,1\Rightarrow n=5k+1*\left( k\in Z \right)}}^{n\overset{5}{\mathop{\equiv }}\,0\Rightarrow n=5k*\left( k\in Z \right)} \right.$ با توجه به اين كه از هر يك از فرمهای $5k$، $5k+1$ و $5k+4$، $20$ عدد در مجموعهی $\left\{ 1,2,3,...,100 \right\}$ وجود دارد، پس به ازای $60$ مقدار $n$، معادلهی مورد نظر در $Z$ دارای جواب است.