دامنه‌ی تابع $\left[ 0,+\infty  \right)$ است. $f(x)=x+2\sqrt{x}+1={{(\sqrt{x}+1)}^{2}}=y\Rightarrow \sqrt{x}+1=\sqrt{y}\Rightarrow \sqrt{x}=\sqrt{y}-1\Rightarrow x={{(\sqrt{y}-1)}^{2}}=y-2\sqrt{y}+1\Rightarrow {{f}^{-1}}(x)=x-2\sqrt{x}+1$  اما دامنه‌ی ${{f}^{-1}}$ برابر برد $f(x)$ است. $\sqrt{x}\ge 0\Rightarrow \sqrt{x}+1\ge 1\Rightarrow {{(\sqrt{x}+1)}^{2}}\ge 1\Rightarrow {{R}_{f}}={{D}_{{{f}^{-1}}}}=\left[ 1,+\infty  \right)$