$14{{n}^{2}}+19n+6=(2n+1)(7n+6)$ $=(2n+1)(5n+5+2n+1)=(2n+1)\left[ 5(n+1)+2n+1 \right]$  با توجه به فرض سؤال، $2n+1$ مضرب $5$ است، یعنی $(t\in Z)2n+1=5t$ اگر $(k\in Z)n+1=k$ فرض شود، آنگاه داریم: $14{{n}^{2}}+19n+6=5t(5k+5t)=25t(k+t)=25{k}'({k}'\in Z)$