می‌دانیم $\cos 2x=1-2{{\sin }^{2}}x$ با قرار دادن در معادله خواهم داشت: $\begin{align}  & \cos 2x=\sin x\Rightarrow 1-2{{\sin }^{2}}x=\sin x \\  & \Rightarrow 2{{\sin }^{2}}x+\sin x-1=0 \\ \end{align}$ در این معادله $a+c=b$ پس یک ریشهٔ $(-1)$ و ریشهٔ دیگر ($-\frac{c}{a}$) یعنی $\frac{1}{2}$ است، پس:  $\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}   \sin x=-1\Rightarrow x=2k\pi +\frac{3\pi }{2}=2k\pi +\frac{9\pi }{6}  \\   \sin x=\frac{1}{2}\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}   x=2k\pi +\frac{\pi }{6}  \\   x=2k\pi +\frac{5\pi }{6}  \\\end{matrix} \right.  \\\end{matrix} \right.$ بنابراین $i=\left\{ 1,5,9 \right\}$