(مثال نقض): برای گزینه‌های 1، 2 و 3 مثال نقض ارائه می‌کنیم: $_{g(x)={{x}^{2}}+3:{{D}_{g}}=R,{{R}_{g}}=\left[ 3,+\infty  \right)}^{f(x)=\sqrt{x-1}:{{D}_{f}}=\left[ 1,+\infty  \right),{{R}_{f}}=\left[ 0,+\infty  \right)}\Rightarrow {{D}_{fog}}=\left\{ x\in R\left| {{x}^{2}}+3\ge 1 \right. \right\}=\left\{ x\in R\left| {{x}^{2}}\ge -2 \right. \right\}=R$  بنابراین:   $_{(fog)(x)=f(g(x))=\sqrt{g(x)-1}=\sqrt{{{x}^{2}}+3-1}=\sqrt{{{x}^{2}}+2}\Rightarrow {{R}_{fog}}=\left[ \sqrt{2},+\infty  \right)}^{{{D}_{fog}}\not\subset {{D}_{f}}}\Rightarrow {{R}_{fog}}\not\subset {{R}_{g}}$  بنابراین گزینه 2 پاسخ است.