اگر $\underset{x\to -۵}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+۳}{{{x}^{۲}}+ax+b}=-\infty $، حاصل $a+b$ كدام است؟
نكته: فرض كنيم $\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,f(x)=L\ne 0$ و $\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,g(x)=0$. در اين صورت اگر $L\langle 0$ و تابع $g(x)$ در همسايگی محذوفی از $a$ مثبت باشد، آنگاه: $\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{g(x)}=-\infty $ ابتدا توجه كنيد كه $\underset{x\to -5}{\mathop{\lim }}\,(x+3)=-2$، بنابراين برای اينكه حد كسر برابر $-\infty $ شود، با توجه به نكتهی بالا بايد وقتی $x\to -5$، عبارت ${{x}^{2}}+ax+b$ با مقادير مثبت به صفر ميل كند. پس بايد عدد $-5$ ريشهی مضاعف مخرج باشد. به عبارت ديگر بايد داشته باشيم: ${{x}^{2}}+ax+b={{(x+5)}^{2}}={{x}^{2}}+10x+25\Rightarrow \left\{ _{b=25}^{a=10}\Rightarrow a+b=35 \right.$