مختصات نقطه‌ی $A(1,2)$ باید در ضابطه‌ی خط و منحنی صدق کند. $y=3x+a\xrightarrow{(1,2)}2=3\times 1+a\Rightarrow a=-1\,\,\,\,(1)$  $y=b{{x}^{2}}+x+c\xrightarrow{(1,2)}2=b{{(1)}^{2}}+1+c\Rightarrow b+c=1\,\,\,\,(2)$  هم‌چنین در نقطه‌ی تماس باید شیب خط و منحنی برابر باشد: $m=3$  $y=b{{x}^{2}}+x+c\Rightarrow {y}'=2bx+1\Rightarrow m={y}'(1)=2b+1\Rightarrow 3=2b+1\Rightarrow b=1\xrightarrow{(2)}c=0\,\,\,\,(3)$  $(1),(2),(3)\Rightarrow a+b-c=-1+1-0=0$